추유호's encyclopedia

수를 세는 말이 없는 언어

추유호 — Sun, 08 Nov 2009 15:14:42 GMT

일전에 아르키메데스의 성질에서도 포스트한 적이 있지만, 많은 수를 세는 것 자체가 어떤 이성적인 경계를 뛰어넘는 행위이다. 문명마다 이런 수를 인식하는데는 패턴이 약간씩 있는데, 이는 ουτις님의 포스트를 참조하는 것이 좋다.

아무튼 여하튼 다들 수를 세고 사는데 수를 전혀 세지 않는 사람도 있다는 사실! 이래서야 원, 수학이 있을 자리가 없잖아!

다니엘 에버렛 저/윤영삼 역, 잠들면 안 돼, 거기 뱀이 있어, 꾸리에북스, 2009

p207 - 책의 본문 텍스트위의 점은 밑줄로 바꾸었다.

그 놀라운 사실들 가운데 하나는, 피다한 말에는 수를 세는 말이 전혀 없다는 것이다. 처음에 나는 피다한 말에 '하나', '둘', '많다'라는 말 정도는 있다고 생각했다. 이러한 세 가지 숫자만 있는 문명은 지구상에 많이 있다. 하지만 나나 이전 연구자들이 숫자라고 생각했던 피다한 말은 실제로 숫자가 아니었다. 단순히 상대적인 수량을 가리키는 말 뿐이었다. 이러한 사실은 피다한 사람들에게 다음 비행기가 올 날을 알려주는 과정에서 알게 되었다.

피다한 사람들은 다음 비행기는 언제 오느냐고 자주 물었는데, 이들은 비행기가 도착할 날을 내가 미리 알고 있는 것을 마치 신비로운 마술처럼 느꼈다. 한 번은 손가락을 두 개 들어보이며 이렇게 대답했다.

"호이날만 지나면 돼"

'호이'는 내가 '둘'이라는 의미로 알고 있던 낱말이다. 그들은 이상하다는 듯한 표정을 지었다. 처음에는 영문을 몰랐으나 오랫동안 그들의 행동을 주의 깊게 관찰하고 난 뒤 나는 그 이유를 알 수 있었다. 그들은 손가락은 물론 어떠한 신체부위도 물건의 수를 세는 데 사용하지 않았다. 또한 내가 '둘'을 의미한다고 생각한 '호이'라는 낱말도 전혀 다른 방식으로 쓰이는 말이었다. 그들은 작은 물고기 두 마리를 가리킬 때도 '호이'라고 했고 그보다 큰 물고기 하나를 가리킬 때도 '호이'라고 했다. 이 말은 '둘'이라는 숫자를 의미하지 않고 상대적인 부피를 일컫는다는 사실을 마침내 나는 깨닫게 되었다. 작은 물고기 두 마리와 중간 크기 물고기 한 마리는 부피가 대략 비슷하다. 하지만 이 두 가지 모두 큰 물고기보다 작기 때문에 큰 물고기에는 내가 이전에 '하나'라고 알고 있던 수를 붙이는 것이다.

이러한 발견은 대단한 것이었다. 하지만 이것은 경험적인 증거일 뿐이기 때문에 공식적으로 이를 증명하기 위해 나는 여러 심리학자들과 함께 피다한 사람들을 대상으로 수많은 실험을 실시했다. 그리고 그 실험결과를 바탕으로 피다한 사람들에게는 숫자가 하나도 없으며 셈을 하는 어떠한 형태도 없다는 것을 여러 편의 논문으로 발표했다.

아악! 수학이 없어!

[서평] 약산 김원봉 평전

추유호 — Sun, 08 Nov 2009 04:48:23 GMT

최근 들어 독립운동사에 대해 조사하다가 이런 저런 지식을 많이 얻게 되는 것 같다. 의열단에 대해 조사하다보니 약산 김원봉에 대해 알아보려고 산 책이다. 이 책 말고도 김원봉에 관한 책이 두 권 더 있는데, 아직 안 읽고 있다.-_-

저자인 김삼웅씨는 인물 평전 책을 여러 권 낸 바 있는데, 이 시리즈 중에서는 일전에 단재 신채호 평전을 읽어본 바가 있다. 저자가 동일하므로 그 책과 비교적 비슷한 느낌이 난다.

전반적으로 조금 감상적이긴 하지만 비교적 객관적으로 다양한 자료를 잘 조합하여 김원봉 단장의 많은 정보를 추적하고 있다. 행적이 모호한 부분에 대해서는 여러 사람의 의견을 동시에 소개하고 있어 상당히 좋다. 다만 저자의 감상적인 부분이 많아 조금은 읽기 귀찮았다-_- 예를 들어, 책의 첫머리에 가상적으로 약산과 인터뷰를 하는 내용이라든지, 약산의 부인인 여성독립운동가 박차정의 이야기 중에 뜬금없이 소피아 코발렙스카야의 이야기를 하는 부분(p324) 같은 것들이다.

세계 어디든 독립운동을 하는 진영은 여러 이념을 가진 분파로 대립하기 마련인 것 같은데, 이를테면 IRA만 해도 Real IRA, Continuity IRA, Irish National Liberation Army, Irish Republican Liberation Army 등 여러 분파로 쪼개져 있다. 일제시대때 한국의 독립 진영도 여러 대립되는 분파로 쪼개져서 서로 대립과 반목이 반복되었는데, 이러한 분파들의 통합과 역량집중을 하는데 가장 앞장선 인물이 바로 약산 김원봉이다.

실력양성론, 외교론, 의열투쟁론 등 여러 독립운동가 진영에서도 약산 김원봉은 가장 강경한 반일의 입장을 취하는 인물인데, 이 점은 아나키스트들과 입장이 비슷하다고 볼 것이다. 흔히 의열단은 대중적으로 아나키스트의 단체로 알려져 있으나, 비록 우근 유자명과 같은 유명한 아나키스트도 속해있긴 하지만, 약산 자신이 아나키스트가 아닐 뿐더러 다양한 입장의 사람들을 포괄적으로 수용하는 단체라 보는 것이 옳다. 그러므로 독립 투쟁 방법론에서 비교적 일치하는 아나키스트를 수용한 것은 자연스럽다. 공산주의자와 극렬히 대립하는 아나키스트를 모두 포용하는 이러한 포용성은 실용주의적 입장이라고 볼 수 있다. 또한 약산은 사회주의자로 알려져 있지만, 책에도 나와 있듯이 사회주의자라기 보다는 훨씬 실용주의적인 인물이라는 것을 알 수 있다.

p248-249

이정식 김원봉이 공산주의와 가까워진 것은 북경시대 1932년 쯤입니다. 레닌주의 정치학교를 운영해나간 때지요. 그러면 그때 김원봉이 공산주의에 대해 갖고 있는 지식은 어느 정도였나요?

김성숙 어느정도 있었지요. 그가 다닌 황포군관학교는 공산주의를 많이 가르쳤습니다. 중공당의 주은래 같은 이가 그때 정치부주임으로 있었지요. 황포군관학교가 한 절반은 빨갱이지요. 그러니 거기서 벌써 상당한 수준의 공산주의 이론이라든가 상식 같은 것을 갖고 있었다고 봐야지요.

이정식 그러면 공산주의 사상에 대한 신념은요?

김성숙 신념은 그리 크지 않았을 겁니다. 대개 "우리 정도의 민족과 국가가 앞으로 잘 되려면 이러한 방향으로 나가야 하나보다" 하는 수준에서 공산주의를 받아들였을 거에요. 어떻든 그는 기본적으로 민족주의자요, 애국자로 항일을 앞세운 투사였지 공산주의가 좋아 거기에서부터 출발한 사람은 아니었어요.¹⁷

17 이정식 면담, 김학준 편, 《혁명가들의 항일회상》, 민음사, 1988, 96~97쪽

이러한 실용주의적 관점은 광복 후 1진 환국 순위를 둔 갈등에서 1진을 양보한 그의 자세에서도 다시 한 번 나타난다.(p533)

의열단에 관한 여러가지 트리비아를 많이 제시하고 있는데, 일전에 의열단 20개조 강령을 소개한 바도 있다. 이 밖에 의열단이 고성능 폭탄 제조법을 얻기위해 고생하는 부분(p107)이나 김상옥 의사의 체포과정(p151)등 흥미로운 부분이 매우 짤막하게 언급하고 지나가는데, 이는 일전에 소개한 1923 경성을 뒤흔든 사람들에서 매우 자세히 나와있으니 읽어보면 좋을 것 같다.

말년에 김일성의 이용도구로 전락하고 토사구팽 당하는 부분은 많이 안타까웠다. 남쪽에서는 친일 경찰에게 고문당하고 북쪽에서는 토사구팽 당하는 그의 운명 앞에서 부끄럽지 않은 한국인이 없을 것이다. 오늘날까지도 독립운동가들의 업적을 제대로 평가하지 않고 있는 우리 사회의 씻을 수 없는 원죄가 아닐까 싶다.

아직 다른 책을 읽어보지 않아서 비교는 곤란하지만, 다양한 자료를 취합하고 있어 괜찮은 평전인 것 같다. 약산의 일생을 알고 싶은 이들에게 일독을 권한다.

http://blog.yes24.com/document/1705393

피라하어 Pirahã language(피다한어)

추유호 — Sat, 07 Nov 2009 02:41:48 GMT

다니엘 에버렛 저/윤영삼 역, 잠들면 안 돼, 거기 뱀이 있어, 꾸리에북스, 2009

p30

피다한어에는 음소가 11가지 정도밖에 없으며, 이들 언어의 기본적인 문장구조는 SOV(주어+목적어+서술어)라는 것이다.(SOV는 인간의 언어에서 가장 흔한 어순이다) 또한 동사가 매우 복잡하다는 것도 발견할 수 있었다. 지금까지 내가 밝혀낸 바로는 피다한 말의 동사는 제각각 65,000가지 이상 변이형이 있다. 처음에는 이런 말을 배운다는 것이 불가능할 것이라는 생각이 들었던 것도 당연할 터. 그러나 차츰 자신감이 생겼다. 나는 할 수 있다....!

65,000가지!!!!!!!!!!!!!!!

위키피디아의 피라하어 항목을 읽어보시라. 놀랍다.
http://ko.wikipedia.org/wiki/피라하어

참고로 '피다한' 과 '피라하'는 같은 말인 듯 하다.

젓가락에 대한 두 가지 재해석

추유호 — Sat, 07 Nov 2009 02:00:08 GMT

젓가락에 대한 두 가지 재해석 by bikbloger

오오! 멋진 디자인!

쉬지 않는 젓가락
김윤상씨의 포트폴리오

유씨구고술요도해

추유호 — Fri, 06 Nov 2009 16:50:10 GMT

유씨구고술요도해[ 劉氏勾股述要圖解 ]는 조선후기 당대 최고의 천문역법학자라 불리웠던 남병길(1820~1869)이 저술한 수학서이다. 이래저래 검색해봤는데, 언제 저술한 책인지는 잘 모르겠다. '수학과 교육'에 이 내용을 해설해놓은 부분이 있어 옮겨본다.

사단법인 전국수학교사모임, "수학과 교육", 통권67호, 2008년 3/4월호 에서 일부 발췌하여 편집함.

①구고
조선시대에는 직각삼각형을 구고(勾股) 또는 구고형(勾股形)이라 불렀다. 여기서 구는 '굽다'는 뜻이고 고는 '넓적다리'란 뜻이다. 직각삼각형에서 직각을 기준으로 직각을 낀 두 변중 짧은 변을 구(勾), 긴 변을 고(股), 빗변을 현(弦)이라고 불렀다.
②자승
보통 제곱을 한자로 자승(自乘)이라 사용한다. 여기서 제곱은 '같은 수를 두 번 곱하거나 곱하여 얻은 수'를 뜻한다.
③실평방제(實平方除)
양의 제곱근을 뜻하는 것으로 생각한다.

[강독] 유씨구고술요도해⁵⁾ - 의령 남병길도해⁶⁾

[원문 1]

勾六十七尺二寸股七十五尺四寸問弦
구육십칠척이촌고칠십오척사촌문현
答弦一百零一尺
답현일백영일척

초역 : 구가 67척 2촌이고 고가 75척 4촌인 구고의 현은 얼마인가?
답은 101척이다.
해설 : 촌은 척의 1/10이다. 단위를 떼고 숫자로 표현하여 보자. 밑변의 길이가 67.2이고 높이가 75.4인 직각삼각형에서 빗변의 길이는 101이 된다.
즉, 67.2² + 75.4² = 4515.84 + 5685.16
= 10201 = 101²

672, 754, 1010 이 세수는 피타고라스 수로서 무리수 없이 딱 떨어진다.
즉, 672² + 754² = 1010²

이후 어떻게 답이 나온건지 이 문제의 풀이를 서술하고 있다. 우측 그림은 클릭하면 커지니 자세히 보시라.

[원문 2]

術曰勾股相乘倍之加入勾股差自乘爲實平方除卽弦
술왈구고상승배지가입구고차자승위실평방제즉현

초역 : 풀이를 설명하면 다음과 같다. 구와 고를 서로 곱한 후 그것의 2배에서 구고의 차를 제곱하여 더하라. 이때 얻어진 값의 양의 제곱근이 현이 된다.
해설 : 직각삼각형에서 구(밑변)의 길이를 a, 고(높이)의 길이를 b라 하면 현(빗변)의 길이는
이다.

요즘 학생들은 수식으로 쓰면 곱셈공식으로 즉시 위 항등식이 성립함을 알 수 있으나, 옛사람은 곱셈공식을 모르므로 다음 계속 설명이 이어진다.

[원문 3]

古法曰勾股各自乘倂之平方除卽弦
고법왈구고각자승병지평방제즉현

초역 : 옛방법은 다음과 같다. 구와 고를 각각 제곱하여 더한 후 제곱근을 구하면 현이 된다.
해설 : 직각삼각형에서 구(밑변)의 길이를 a, 고(높이)를 b라 하면, 현(빗변)의 길이는 이다.

[원문 4]

圖解甲乙丙丁爲弦自乘方內容甲戊乙乙己丙丙庚丁丁辛甲四勾股積卽勾股相乘積二段
도해갑을병정위현자승방내용갑무을을기병병경정정신갑사구고적즉구고상승적이단
戊己庚辛一勾股差自乘方故勾股相乘積倍之又加勾股差自乘積爲弦自乘積也
무기경신일구고차자승방고구고상승적배지우가구고차자승적위현자승적야

초역 : 그림으로 풀어 설명하면 다음과 같다. 그림에서 정사각형 갑을병정의 넓이는 현의 제곱과 같다. 정사각형 모양 안에는 4개의 직각삼각형 갑무을, 을사병, 병경정, 정신갑이 있다. 이 4개의 직각삼각형의 녋이는 구와 고를 곱한 것의 2배(직각삼각형 4개를 모으면 2개의 직사각형모양이 된다) 이다. 또 정사각형 무기경신의 넓이는 구고의 차를 제곱한 것과 같다. 따라서 구와 고를 곱하여 그 2배한 것에 구고의 차를 제곱한 것을 더하면 현의 제곱이 된다.

해설 : 위에서 제시한 수식을 기하학적으로 증명하고 있다.

5) 현재 서울대학교 도서관에 소장되어 있으며, 여기서 유씨는 유수석(劉壽錫)이라고 추측된다. 유수석은 1713년 5월 29일 조선을 방문중이었던 중국의 산학자인 하국주의 수학문답에 홍정하와 함께 참여한 것으로 전해진다.
6) 의령(宜寧)은 본관이다. 남병길은 조선 말기의 문신으로 천문과 수학을 연구하였다. 남병길이 그림을 그려 설명했음을 말하고 있다.

박수근 - 빨래터

추유호 — Fri, 06 Nov 2009 03:22:47 GMT

박수근, "빨래터", 37×72cm, Oil on canvas, 1950년대 후반

바람구두 연방에서 박수근을 잘 소개하고 있으므로 일독을 권한다.
바람구두 연방의 문화망명지 - 박수근 소개

요새 미술계에서 박수근의 작품 빨래터의 위작논쟁으로 시끄럽다. 이 작품은 2007년에 국내 최고 경매가 45억 2천만원에 팔린 작품이라 관심이 더욱 높다.

한겨레 박수근 ‘빨래터’ 45억2천만원…국내 경매 최고가 2007-05-22 오후 04:59:59

최근 위작논쟁을 놓고 법원에서 작품은 위작이 아니지만, 의혹을 제기하는 것은 죄가 아니다는 판결이 나왔다. 요즘은 이성적으로 해결하지 못하고, 싸우는 애들이 엄마찾는 마냥 법원에 가서 물어야 속이 시원한가보다. 애시당초 검정을 잘 해서 결과를 공개하면 법원에 갈 필요도 없지 않은가.

한겨레 법원 “박수근 ‘빨래터’ 위작 아니다” 2009-11-04 오후 07:37:02
한겨레 ‘빨래터’ 공방 일단락됐지만…갈 길 먼 ‘과학 감정’ 2009-11-05 오후 09:19:34

본 블로그에서도 일전에 소개한 바 있지만 박수근 위작, 이중섭 위작 논란은 끊이지 않는다.

참고
위작 의혹을 제기한 아트레이드가 이글루스에 있는줄 몰랐네.
artrade, 박수근 이중섭 사건의 ‘진실’ by 아트레이드
아트레이드 vs 한국미술품감정연구소 ‘빨래터’ 진위공방 by 아트레이드

소수정리(prime number theorem)의 증명 : part 2-1 해석적 증명

추유호 — Thu, 05 Nov 2009 16:58:31 GMT

이제 지난 포스팅에 이어 소수정리의 해석적 증명을 시도해보겠다.

0. notation >
ψ(x)를 Chebyshev ψ-function이라고 하자. 이 함수를 1부터 x 까지 적분한 함수를 ψ₁(x) 라고 쓰기로 한다. 즉,

이 된다.

1. theorem >
이면 이다.
이 정리는 마치 로피탈의 정리를 연상케 한다. 그러나 로피탈의 정리와는 달라서 증명을 간단히 만들 수는 없었다. 그래서 책의 방법을 따라간다. 이 정리로 인해 목표가 다시 ψ₁(x)/x²의 극한값을 구하는 것으로 변형되었다.

1-1. proof of theorem 1 >
ψ(x) ≥ 0 이므로 ψ₁(x)는 증가함수가 된다. 따라서 임의의 β > 1에 대해 ψ₁(βx) - ψ₁(x) ≥ 0 가 성립한다. 그리하여 이 차에 대해 다음의 bound를 만들 수 있다.

이 부등식의 양변을 x²(β - 1)로 나눠주면

이 성립한다. 여기서 x를 무한대로 보내면 가정에 의해 부등식의 좌변이 계산된다. 따라서

여기서 β를 1+로 보내면 lim sup ψ(x)/x ≤ 1 임을 알 수 있다.

동일한 방법으로 임의의 0 < α < 1 에 대해 ψ₁(x) - ψ₁(αx) ≥ 0 가 성립하므로 동일한 계산을 또 하여 α를 1-로 보내면 infimum을 계산할 수 있다. 즉, lim inf ψ(x)/x ≥ 1 이 된다. 따라서 위 정리가 성립함을 알 수 있다.

이 정리에 의해 구하고자 하는 목표가 ψ(x)/x의 극한값에서 ψ₁(x)/x²로 바뀌었다.

2. lemma >
c > 0, 0 < u ≤ 1 이면. 모든 자연수 n 에 대해 다음 등식이 성립한다.

적분 경로는 x = c를 따라 움직인다. 그리고 u > 1 이면 위 적분식은 0 이 된다. 이 적분식은 쓸모가 많으니 잘 기억해두기 바란다.

2-1. proof of lemma 2 >
피적분함수를 u^-zΓ(z)/Γ(z + n + 1) 와 같이 감마함수로 표현할 수 있다. 여기서 residue theorem을 이용한다. u의 값에 따라 적분경로를 다르게 잡는데, 아래 그림과 같다.

주어진 피적분 함수는 복소평면에서 실수부가 양인 우측 반평면에서는 holomorphic하므로 u가 1보다 큰 부분에서는 residue가 없다.

먼저, 원을 돌아나가는 적분을 계산해 볼 필요가 있다. 다음 부등식에 주목해보자.

위 식에서 x는 물론 z의 실수부이다. u^-x ≤ u^-c가 항상 성립하는데, 이는 u에 따라 경로를 다르게 잡았기 때문이다. u가 어느 쪽이든 원주의 경로는 u^-x가 줄어드는 방향으로 돌게 된다. 따라서 부등식이 항상 성립한다. 분모의 factor들은 R/2보다 작게 되는데 그 이유는 다음과 같다. 1 ≤ m ≤ n 이라 하면
|z + m| ≥ |z| - m = R - m ≥ R - n ≥ R/2
분자는 고정되어 있고 분모는 반지름을 따라 커지므로, 위 피적분 함수는 반지름이 커질 수록 원주위의 적분경로에서의 적분값이 0 에 수렴하게 된다. 만약 u가 1보다 크다면 원주위의 적분값도 0 에 수렴하고, pole도 없는 holomorphic 구역이므로 적분값도 0 이 된다. 따라서 몽땅 영이므로 세로 선을 따라 적분하는 위 값도 0 이 된다.

u가 (0, 1]에 포함될 때가 문제인데, 이 경우 감마함수는 pole을 가진다. 감마함수의 residue는 (-1)ⁿ/n! 이므로

따라서 반지름을 무한대로 보내면 위의 적분식이 성립한다.

3. lemma >
다음의 등식이 성립한다.

3-1. proof of lemma 3 >
part 1의 Abel's identity에 다음을 대입한다 : a(n) = Λ(n), f(t) = t, 구간 (0, x]
Λ(n)의 합이 ψ(x)이고 가운데 항은 0 이 되어 사라지므로 등식은 다음과 같은 형태가 된다.

ψ(x) = ∑_{n ≤ x} Λ(n) 이므로, 이 식을 ψ₁(x)에 대해 정리해주면 원하는 등식이 나온다.

4. lemma >
다음 등식이 성립한다.

4-1. proof of lemma 4 >
이건 매우 간단히 증명된다. n 을 나누는 수 중에서 소수의 거듭제곱만 더하면 되는데 이들을 더하면 log n 이 된다.

5. lemma >
σ > 1 일 때, 다음 등식이 성립한다.

오오, 뭔가 실체가 드러나는 느낌이다. 왜냐하면 지금까지 따로놀던 수론적 함수와 제타함수가 등식으로 만나기 때문이다.

5-1. proof of lemma 5 >
제타함수를 term by term으로 미분해야 되는데 미분이 무한합 안으로 들어가려면 uniform convergence가 있어야 한다. 그런데 σ > 1 이므로 절댓값이 수렴한다. 따라서 M-test로 보일 수 있다. 따라서 다음이 성립한다.

그래서 아래와 같이 두 수열을 곱한다.

두 번째에서 세 번째로 넘어갈 때 Lemma 4의 등식을 이용한다. 따라서 위 정리가 증명됨을 알 수 있다.

6. theorem >
c > 1, x ≥ 1 일 때, 다음 등식이 성립한다.

6-1. proof of theorem 6>
Lemma 3에서 얻은 등식에 양변을 x로 나누어 ψ₁(x)/x = ∑_{n ≤ x}(1 - n/x) Λ(n)를 얻는다. 이제 Lemma 2에 n = 1, u = n/x를 대입해보자.

양변에 Λ(n)을 곱해서 x 이하 모든 n 에 대해 총합을 구하면

이 등식이 나온다. 그런데, n 이 x 보다 크면 Lemma 2에서 보듯이 값이 영이 되어버린다. 따라서 위 식에서 x 이하의 n 이 아닌 1 부터 무한대까지의 무한급수합을 취해도 같은 값이 된다. (절묘하다!!-_-) 즉,

(식 1)

요렇게 된다는 말씀이다.

자, 이제 여기서 무한합과 적분의 위치를 바꾸는게 필요한데, 당근 맘대로 바꾸면 안되고 uniform convergence가 필요하다. 본인이 참고한 Apostol책은 자신의 해석학책을 참조하라고 하고 있는데, 찾아보니 Lebesgue Integrable 함수에 대한 정리이다. 이거 뭐 닭잡는다고 소칼 쓰는 격이구만. 우리는 걍 제일 만만한 M-test로 갑시다.

뭐 어쨌든 피적분함수안에 절대값 씌운 값의 무한급수가 수렴하면 장땡이다. 근데 적분경로가 세로축과 평행하게 움직이므로 복소수의 실수부가 변하지 않는다. 게다가 그 값은 1보다 크다는 사실에 주목하자. 그리하여,

위와 같이 바꿔주면, 적분부분은 어떤 상수 A가 되고(이 적분부분은 허수부를 변수로하는 이차식을 분모로 가지므로 수렴한다) A Λ(n)/n^c를 M-test의 M_n로 두면 되는 것이다. 그런데 ∑Λ(n)/n^c가 과연 수렴할까? Apostol책에서는 별 설명이 없지만 본인 생각으로는 다음 이유에서일 듯 하다. Λ(n)/n^c < log n/n^c 인데, c 가 1보다 크므로 적분판정법으로 손쉽게 (약간의 귀찮은 계산을 동원해) 무한급수의 수렴을 보일 수 있다.

아무튼 여차저차해서 우리는 (식1) 에서 시그마를 적분 안쪽으로 밀어 넣을 수 있다. 즉,

마지막 등식에서 Lemma 5 를 이용한다. 이제 이 식에서 양변을 x 로 나누면 원하는 등식을 얻게 된다.

7. theorem >
x ≥ 1 일 때, 다음 등식이 성립한다.

이때 h(s)의 의미는 다음과 같다.

7-1. proof of theorem 7>
Lemma 2에서 n 에 2 를 대입해 다음을 얻는다.

이때 c > 0 이다. 그래서 s 대신 s - 1 을 대입하면 c > 1 이 된다. 정리 6에서 얻은 결과에 이 식을 빼면 다음과 같이 된다.

이 적분을 구하기 위해 다음과 같은 경로 적분을 생각해보자.

이제 T를 무한대로 보내야 한다. 먼저 가로방향부터 계산해보면, 아래쪽 가로는 위쪽 가로의 conjugate 이므로 위쪽 가로만 계산하면 된다. |h(s)|의 bound를 찾고 싶은데, 이때 part 2-1의 정리 5-3에서 계산한 결과를 이용하면 된다. 1/s(s + 1)을 분배해서 두 개의 항으로 나누면 앞부분은 O(log⁹T/T²) 이고 뒷부분은 O(1/T²) 이므로 결국 합치면 어떤 상수 M 에 대해 |h(s)| ≤ M log⁹T/T² 이 성립한다. 따라서

이렇게 되는데 이게 영으로 죽는다. 그리하여 사각형 내부는 analytic 하니까 T가 무한대로 가면 다음의 등식을 얻는다.

즉, c가 1로 바뀌어도 값이 같다는 얘기다. Re(s) = 1 위에서의 적분이므로 s = 1 + it 로 바꿔 써보면 정리에서 제시한 등식을 얻을 수 있다.

8. theorem > Riemann–Lebesgue lemma
Riemann–Lebesgue lemma라는게 있다. 사실 본인도 처음 봤는데-_- 어쨌든 이 Lemma에 대한 간결한 증명은 다음 파일을 참조하라.
rl_lemma.pdf / 출처

어쨌든 Lemma의 내용은 가 수렴하면 이라는 정리이다.

9. theorem >

9-1. proof of theorem 9>
위 정리 7의 등식에서 x 가 무한대로 갈 때 우변 적분의 극한이 영으로 수렴한다면 최종적으로 증명이 완성된다.
적분구간을 다음의 세 군데로 잘라보자. [-∞, -e], [-e, e], [e, ∞]

[-∞, -e], [e, ∞] 이 두 구간에서 |h(1 + it)| 를 적분한 값은 part 2-1의 정리 5-3에서 얻은 결과 때문에 M log⁹t/t²에 bound 된다. 따라서 |h(1 + it)| 를 적분한 값은 수렴하게 되고, Riemann–Lebesgue lemma 때문에 정리 7의 등식에서 우측 적분값은 x 가 무한대로 갈 때 극한값이 영이 된다. 따라서 정리 9가 증명되었다.

이로서 정리 1에 의해 lim ψ(x)/x = 1 이 되고 part 1의 결과에 의해 소수정리가 성립한다.

호주의 수학 서술형 평가

추유호 — Thu, 05 Nov 2009 15:07:34 GMT

사단법인 전국수학교사모임, 수학과 교육, 통권 68호, 2008년 5/6월호 에서 무단발췌-_-

p64-67

호주의 수학 서술형 평가

이수영 | 서울 영남중

"호주에서의 서술형 평가에 대해 글 좀 써 줄래"
"여긴 모두 서술형 평가지. 하하하"

호주에 온지 벌써 3년이 다 되어가는 나에게 글을 써달라는 부탁이 들어와 곰곰이 생각해 보게 되었다. 호주에서는 주마다 교육 시스템이 조금씩 다르므로 내가 살고 있는 남호주 애들레이드에서의 경험을 바탕으로 이곳에서의 수학 서술형 평가에 대해서 소개하고자 한다.

호주에서는 지역과 학교마다 차이가 있긴 하지만 한 반에 20명에서 30명 정도의 학생들이 있고, 수학 교사 한 명이 네다섯 개의 반을 밤당하며 매 단원 배울 때 마다 두세 번씩 평가를 하고 중요한 숙제를 하나 이상씩 내서 모두 성적에 반영한다.

다음은 공립학교 8학년 학생에게 주어진 숙제이다.

- 부모들의 시대에 사용했던 계산기에 대해 부모님께 여쭤보기 (5점)
- 주판이 어떻게 만들어지고 사용되었는지 도서관이나 인터넷을 통해 조사하기 (5점)
- 주판으로 어떻게 수를 나타내고 사칙연산을 하는지 알아보기 (10점)
- 주판 이외의 계산 기능을 할 수 있는 기계들을 조사하기 (5점)
- 쉽게 구할 수 있는 재료들을 사용해서 직접 덧셈, 뺄셈이 가능한 계산 도구를 창의적으로 만들어오기 (20점)
- 학교에서 짧은 시간동안(약 2분) 발표하기 (10점)

호주아이들도 숙제를 반가워하진 않는다고 한다. 하지만 이러한 '귀찮은' 숙제를 학생들은 대부분 열심히 해온다고 한다.

우리나라에서는 수험생의 '귀중한' 시간을 빼앗는 일이기 때문에 고3 학생에게 숙제를 내주는 일이 거의 없다. 하지만 호주에서의 수험생 12학년은 숙제도 많고 숙제가 성적에서 높은 비중을 차지한다. 다음은 고등학교 3학년에 해당하는 12학년 학생의 숙제중 하나다.

1. 함수 y = x²에서 두 점 (3, 9)와 (3 + h, (3 + h)²)의 기울기를 h = 0.1, 0.01, 0.001 에 대해 각각 구해서 x = 3 에서의 순간 변화율을 예상한다. y = x²의 dy/dx 를 예상하고 예상이 맞는지
lim_{h → 0} {(x + h)² - x²}/h 로 유도해서 확인한다.

2. y = x³에 대해서도 두 점 (4, 64)와 (4 + h, (4 + h)³)의 기울기를 h = 0.1, 0.01, 0.001 에 대해 각각 구해서 x = 4 의 순간 변화율을 예상한다. y = x³의 dy/dx 를 예상하고 예상이 맞는지
lim_{h → 0} {(x + h)³ - x³}/h 로 유도해서 확인한다.

3. y = x⁴에 대해서도 같은 방식으로 dy/dx를 유도한다.

4. y = xⁿ의 dy/dx는 무엇일지 추측해본다.

그러면 이번엔 숙제가 아닌 실제 평가의 예를 들어보겠다. 11,12학년 학생들은 수학 난이도에 따라 Mathematical Methods, Mathematical Studies, Specialist Mathematics 중 선택을 해서 수업을 듣게 되고, 12학년의 연말이 되면 그 해에 선택했던 과목에 대해 대학 입학시험을 보게 된다. 물론 이 수학 과목들 중 하나도 선택하지 않는 학생도 있고 여러 개를 선택해서 듣는 학생도 있다. 다음은 난이도가 중간 수준인 Mathematical Studies를 선택했던 학생들이 봐야했던 우리나라의 수학능력 평가와 비슷한 대학 입학 시험에 출제된 문제들이다. 이 평가는 해마다 약 15문제가 출제되며 3시간 동안 풀어야 하는 시험이다.

1. Find dy/dx for each of the following functions. There is no need to simplify your answers. (2 marks)
y = (7x³ + 10x)⁴

2. Let the function f(x) = ln x /x², x > 0

(a) On the axes below, draw the graph of y = f(x), clearly showing any axis intercept(s). (3 marks)

(중략 - 눈금이 그려진 빈 좌표평면)

(b) Calculate the area enclosed by the graph of y = f(x), the x-axis, and the line x = e. (1 mark)

(c) (i) Show that d/dx{(1 + ln x)/x} = - ln x /x² (3 marks)
(ii) Hence, or otherwise, find the exact value of . Simplify your answer. (4 marks)

다음은 수학을 더 깊이 공부하는 Specialist Mathematics를 선택한 학생들이 봐야했던 2007학년도 대학 입시 평가 문제 중 한 문제이다. 이 시험을 보는 학생들에게는 최종 점수에 가산점이 주어져서 쉬운 과목을 선택한 학생들과 비교해 불이익을 당하지 않도록 한다.

Points A(-1, 1), B(1, 2), and C(2, -1) are fixed points in the plane which determine the simultaneous motion of points P, Q, and R so that
= [2t - 1, t + 1]
= [t + 1, -3t + 2]
= [-t² + 4t - 1, -4t² + 2t + 1]
where 0 ≤ t ≤ 1 is the time for which the points are in motion.
The graph is Figure 4 represents this situation at some time t.

(중략 - 점 A, B, C, P, Q, R 이 찍힌 눈금이 그려진 좌표평면. Figure 4)

(a) Graph the path of P, Q, and R on the axes in Figure 4. (3 marks)
(b) Find and in terms of t and hence give a vector proof that P, r, and Q are collinear. (3 marks)
(c) (i) Draw the vectors AP, AR, PQ, RC, and QC on Figure 4. (1 mark)
(ii) Using the triangle inequality, show that |AP| + |PQ| + |QC| ≥ |AR| + |RC|. (3 marks)

(추유호 주 - 위 벡터를 의미하는 영문자 두 개 모두 원문에는 위에 화살표가 그려짐.)

6, 7학년 수업 시간에 구구단 시험을 보는 이곳의 수학 교육이지만, 고등학교 3학년이 다 되도록 매일 구구단만 하고 있지는 않다는 사실을 알 수 있다. 호주에서는 초등학교나 중학교 초반에는 수학 시간에 도대체 무엇을 배우나 싶을 정도로 쉬운 것만 다루는 듯 싶지만 결국 서서히 일차방정식도 배우고, 함수도 배우고, 확률, 미분, 적분, 통계 등 우리나라의 수학 교과과정에 있는 내용도 모두 배우게 된다.
(후략 - 한국 수학교육에 대한 비판)

독립 운동가와 경찰의 재회

추유호 — Thu, 05 Nov 2009 12:51:40 GMT

김삼웅 저, 약산 김원봉 평전, 시대의 창, 2008

p552-560

김원봉이 구속된 것은 1947년 3월 22일경이다. 이 무렵 전국노동조합평의회의 주도로 24시간 총파업이 단행되었는데 이를 빌미로 미군정과 우익 청년단체들은 민전과 그 산하단체들을 일제히 습격했고 각 단체의 사무실은 경찰과 우익 청년단체들이 점거했다. 이 사건으로 2000여명이 검거되었다. 김원봉도 이때 검거되어 4월 2일 군사법정에 서게 되었다.
군사법정에 선 김원봉에 대한 혐의는 포고령 위반이었다. 김원봉은 수도경찰청장 장택상의 지시로 총독부 악질 경찰 출신인 노덕술에게 피체되었다. 장택상의 부친 장승원은 경북 칠곡의 대지주였는데 군자금을 모집하던 광복회원에게 불응하다가 처단되었다. 이러한 이유로 장택상은 김원봉과 그 세력을 증오하고 있었다.

(중략)

중부경찰서에 구금되어 갖은 수모를 당한 뒤 집에 돌아온 김원봉은 "전 의열단원 유석현에게 가서 꼬박 3일간을 울었다"²⁰고 한다.

노덕술은 일제의 대표적인 악질 경찰관이었다. 동래경찰서 고등계 형사를 거쳐 평남 소속보안과장, 통영시 사법주임, 경기도 경찰서 고등계 형사주임 등을 역임하면서 수많은 독립운동가를 붙잡아 심한 고문을 가했다. 해방이 되자 재빨리 수도청장 장택상에게 빌붙어 미군정 경찰로 복직하고 수도청 수사과장으로 변신했다. 미군정 경찰이 된 노덕술은 일경 출신 경찰간부들과 항일 테러리스트 백민태를 시켜 반민특위 요원들의 암살을 준비하기도 했다.
김원봉은 일제 군경이 엄청난 현상금을 걸고 붙잡으려 했던 항일독립운동가다. 그런 그가 해방된 조국에서 일제 고등계 형사 출신 경찰과 친일파들에게 붙잡혀 철창에 갇히고, 온갖 수모와 고문을 당하게 되었으니 3일 낮과 밤을 울지 않을 수 없었을 것이다. 김원봉은 "내가 조국 해방을 위해 중국에서 일본놈과 싸울 때도 이런 수모는 당하지 않았는데 해방된 조국에서 악질 친일파 경찰 손에 수갑을 차다니, 이럴수가 있소"²¹라며 분노를 터뜨렸다고 한다.

(중략)

김원봉보다 더 기막힌 사연도 있었다. 여성 독립운동가 정정화鄭靖和(1900~1991)는 상해 대한민국임시정부에서 독립자금을 모집하기 위해 국내에 들어왔다가 일경에 피체되어 옥고를 치렀다. 6.25 전쟁때 피난가지 않고 서울에 남았다가 부역죄 혐의로 종로경찰서에 끌려가 조사를 받고 구타를 당했는데 자기를 구타한 사람이 일제 때 자기를 구속했던 바로 그 사람이었다고 한다.

1943년 합천독서회 사건으로 구속되어 1년여 동안 옥고를 치렀던 노촌老村 이구영李九榮(1926~2006)은 한국전쟁 때인 1950년 9월 북한으로 넘어갔다가 1958년 7월 남파공작을 위해 남으로 내려왔다. 그러나 접선에 실패하고 그해 9월 부산에서 체포되었다. 그런데 이때 그를 체포한 형사 역시 일제시대 그를 고문했던 형사였다.

20 송건호, 《한국현대사》, 두레, 1986, 252쪽
21 한상도, 《한국독립운동과 국제환경》, 한울아카데미, 2000, 223쪽

Ramen Extravaganza!

추유호 — Wed, 04 Nov 2009 14:49:43 GMT

http://kevtris.org/Stupid/guide/ramen/